■訳者まえがき

■はじめに

　1.1　ファイナンス理論の背景

　現代ファイナンス理論が経済学から分離して独立した学問として扱われるようになったのは、マーコヴィッツがポートフォリオ理論を発表した1952年のことである。マーコヴィッツは、期待効用理論に基づき個人投資家の選好をモデル化するとともに平均分散アプローチを確立し、リターン（資産の平均リターン）とリスク（リターンの分散）のトレードオフ問題を検証した。彼の理論は後のシャープ、リントナー、トレイナーらによる資本資産評価モデル（CAPM）――株式の期待リターンについての均衡モデル――へと発展する。CAPMは分散可能なリスクの測度としてベータを導入し、ポートフォリオを構築することで、トータルリスク（分散）における特定のリスク要素を最小化することができることを説いたものである。
　続いて理論体系の発展に大きく貢献したのが、ブラック・ショールズの株式オプション価格モデルである。これは、（リスクフリーな）ヘッジ・ポートフォリオの構築が可能なことを説いたものである。ブラック・ショールズ式は、その後マートンによって拡張され、連続配当を含むケース、さらにはコモディティや通貨オプションの評価にも適用できるようになった。オリジナルの公式の導出には物理学でおなじみの拡散方程式（熱伝導方程式）を解く必要があったが、後にはオリジナルの公式の導出に代わって、リスク中立評価法が用いられるようになった。

　1.2　資産価格における前提

　ポートフォリオ理論は、個人投資家の選好に依拠しているが、この理論は資産のリターン分布についてある前提を置いている。例えば、株式リターンは対数正規分布に従うとというものである。あるいは、対数株式リターンが正規分布に従うといってもよい。最近になって、実務家たちは完全な正規分布から外れた場合の影響（歪度と尖度によって測定）について考察し、異なる分布（例えば、逆ガンマ分布）の使用を提唱し始めている。

　債券は株式とは性格が異なるが、債券オプションの評価は短期金利がそのスタート地点となる。この場合、短期金利の対数正規分布性もしくは正規分布性を想定するのが一般的である。したがって、ファイナンス分野における分析では、全般にわたって確率分布の基本的性質を利用することができる。

　1.3　数学的および統計的問題

　本書の株式の部における数学的問題とは、一口にいえば最適化問題である。最適化にも制約条件が付く場合があり、その代表例がシャープの発案したリターンをベースとするスタイル分析である。この分析では、ベータは最小２乗法で線形回帰直線の係数（傾き）として推定される。
　オプションは、リスク中立的な枠組みのなかでは統計的期待値として算出される。対数株価の正規分布は、それと等価な離散二項分布で近似することができる。したがって、オプションの期待値は、この二項分布に従うという仮定の下で計算される。

　1.4　数値解法

　ポートフォリオの最適化問題を解くには、ポートフォリオの分散が必要であり、そのための数値解法が２次計画法である。スタイル分析でも２次計画法が用いられ、この場合はトラッキング・エラーが最小になるように銘柄選択を行う。一般には最適化の範疇には入らないが、線形回帰では残差（観測値と推定値の差）が最小になるように傾き係数を選ぶ。この場合の最適化は一般的な最適化とはタイプの異なる回帰分析であり、ベータは公式を使って求めることができる。
　一方、オプションの評価では、リスク中立的な世界での期待値は二項モデルを使って計算することができる。二項モデルではパラメーターの選択が重視されることを、３つの異なる二項モデルの収束性を例にとって示す。このようなツリー構造を利用することで、満期前であればいつでも権利行使ができるアメリカン・オプションの評価も可能になる。 　ヨーロピアン・オプションの評価には、モンテカルロ・シミュレーションや数値積分も利用できる。とりわけニュートン・ラフソン法などの数値解法を使えば、インプライド・ボラティリティの推定も可能である。

　1.5　Excelの特徴

　Excelはそのワークシートのもつさまざまな機能により、モデル構築のプロトタイプとして利用することができる。ワークシートのセルに入れられた計算式は、簡単に調べることができるようになっているため、本書では、各数式の途中計算式もできるだけセルに含めるようにしてある。また、ワークシートは、セルに入力したパラメーター値を変更するとそれに応じて結果が自動的に変化する「what-if」という優れた機能を備えている。 　すべてのモデルと手法は、ワークシート上のみならず、VBA関数でも実行できるようにしている。このような２とおりの方式により、数値計算の結果が正しいかどうかのチェックが可能になるだろう。
　VBAプロシージャをいくつかまとめたものをマクロと呼んでいるが、マクロ＝VBAと考えている人は多い。しかし、本書で用いるプロシージャの大部分はユーザー定義関数である。本書では、VBAを使ってユーザー定義関数を書くことや、ユーザー定義関数と行列関数をはじめとするExcelのワークシート関数とを組み合わせることがいかに簡単かを紹介していきたい。
　Excelのアドインであるゴールシークとソルバーは最適化作業で用いる。これらのコマンドについても、VBAのユーザー定義関数やマクロを使えば自動化できることを紹介していく。Excelにはもうひとつ、あまり使われない関数がある。それが配列関数である（Ctrl＋Shift＋Enterで実行される）。本書では、配列関数をユーザー定義関数のなかで使っていく。また、二項モデルもユーザー定義関数のなかで使っていくが、効率を重視して、２次元配列（行列）ではなく、１次元配列（ベクトル）を用いていく。

　1.6　本書の構成

　本書は４部で構成されている。第１部ではExcelを使った上級モデリングについて説明し、続く３つの部ではファイナンス分野での応用について説明する。ここでは、株式、株式オプションおよび債券オプションに分けて説明していく。
　第２章では、本書全般で用いる高度なExcel関数と各種機能について解説する。特に重要なのはExcelの配列関数である。また、行列操作にかかわる数学については特別に節を設けて説明していく。
　第３章では、VBAのプログラミング環境の説明を行うとともに、VBAのサブプロシージャ（マクロ）の書き方をステップ・バイ・ステップで説明する。マクロによる繰り返し作業の自動化は実例を用いて分かりやすく説明していく。
　第４章では、ファイナンスへの応用に重要な役割を果たすVBAのユーザー定義関数について説明する。特に、スカラー変数と配列変数は重要であり、VBA関数の入力変数として扱う場合、計算で使用する場合、および出力変数として扱う場合のそれぞれについて説明する。ここでも実例を使ってステップ・バイ・ステップで丁寧に説明していく。実例としては、ヨーロピアン・オプション（ブラック・ショールズ式）とアメリカン・オプション（二項モデル）を取り上げる。
　第５章からは、応用に入る。この章では株式をとりあげる。
　第６章では、ソルバーと解析的解法を用いたポートフォリオの最適化について解説する。この章以降、ソルバーはワークシート上で実行したり、マクロによって自動化して使ったりと、さまざまなケースで利用される。また、有効フロンティアの各点をExcelやVBAの配列関数を使って求める方法についても説明していく。ポートフォリオ理論の構築は、３つの一般化問題に集約することができる。これらの問題は本章だけでなく、あとの章でもたびたび登場する。
　第７章では（株式）資産のプライシングについて見ていく。単一指標モデルとCAPMを出発点に、最終的にはバリュー・アット・リスク（VaR）にまで話を発展させていく。VaRでは資産の対数リターンは正規分布に従うことを前提とするが、これも本書ではたびたび登場するテーマである。
　第８章ではパフォーマンス測定について述べる。初期に用いられていたシングル・パラメーター測度から、今日の代表的なモデルであるマルチインデックス・モデル（代表例がスタイル分析）まで順を追って説明する。本章で初めて登場するのが信頼区間という概念である。ここでは、スタイル分析で各資産のウエートを求める際に、どのようにして信頼区間が決められるのか説明する。
　第９章からは、株式オプションに応用して説明していく。株式の対数リターンが正規分布に従うことを前提に、ヘッジ・ポートフォリオの構築方法について詳しく述べる。ヘッジ・ポートフォリオは、ブラック・ショールズ・オプション価格式の基本となる重要な概念である。ブラック・ショールズ・オプション価格式は、オプション価値をリスク中立世界におけるオプション・ペイオフの割引期待値としてとらえたものである。本章ではオプション価値のこの解釈方法についても説明する。
　第10章では二項モデルについて述べる。二項モデルは、対数株価に対して想定された連続正規分布の離散近似と見なすことができる。二項モデルは満期前の権利行使にも対応可能で、そのためアメリカン・オプションの評価にも使えるため、オプション評価の代表的な数値解法として用いられる。二項モデルはパラメーターの選び方で違ってくるが、ここでは３つの方法を紹介する。そのひとつであるLeisen and Reimerツリーはあまり知られていないが、収束性と精度の２点でほかの標準的なツリーよりも優れている。ワークシートの実例では９ステップ・ツリーを用いるが、ユーザー定義関数はステップ数がいくつに増えても簡単に適応できる。
　第11章では再びブラック・ショールズ式に戻って、その拡張性（通貨オプションや商品オプションの評価にも拡張できる）と資産価格に設けられた前提に対する依存度について見ていく。
　第12章では、ヨーロピアン・オプションを評価するためのブラック・ショールズ式に用いる統計的推定量の代替的計算方法を２つ紹介する。そのひとつがモンテカルロ・シミュレーションで、もうひとつが数値積分である。これらのアプローチは本書で扱う比較的簡単なオプションを取り扱う場合よりも、複雑なオプションの取り扱いにおいてその本領を発揮する。
　第13章では資産の対数リターンが正規分布から外れた場合（すなわち、分布が正規分布とは異なる歪度と尖度をもつ場合）に、オプション市場で観測される、いわゆるボラティリティ・スマイルについて説明する。また、ヨーロピアン・オプションの価格に内包されるインプライド・ボラティリティの効率的な算出方法についても述べる。
　第14章からは、債券オプションに応用して説明していく。債券価格は株式価格とは異なる性質をもつが、数学的問題や評価に用いる数値解法には共通点が多い。ゼロクーポン債価格に基づく期間構造を定義するとともに、短期金利を二項モデルを使ってモデル化することで、ゼロクーポン債のキャッシュフロー評価手法として利用する方法についても述べる。
　第15章では、２つの代表的な金利モデルであるVasicek and CoxモデルとIngersoll and Rossモデルについて述べる。また、ゼロクーポン債価格とゼロクーポン債オプションの解析的解法と、利付債オプションを評価するための反復法についても解説する。
　第16章では、短期金利を二項モデルでモデル化することで、ゼロクーポン債価格の任意の期間構造にマッチングさせる方法について述べる。よく使われるBlack-Derman-Toyの金利ツリー・モデルを（ワークシートとユーザー定義関数の両方を使って）構築し、構築したツリーがゼロクーポン債のヨーロピアン・オプションとアメリカン・オプションの双方の評価に利用できることを示す。
　最後の補遺はユーザー定義関数のパンドラの箱ともいうべき章で、本書で扱ったファイナンス分野での応用説明とは直接関係はない。とはいえ、ARIMAモデルやスプライン、固有値などを計算するための便利な関数が満載で、ツールボックスとして重宝するに違いない。

　1.7　関連するExcelワークブック

　第１部　Excelを使った上級モデリング
　関連するワークブック――AMFEXCEL（第２章）、VBSUB（第３章）、VBFNS（第４章）

　第２部　株式
　関連するワークブック――EQUITY1（第６章）、EQUITY2（第７章）、EQUITY3（第８章）

　第３部　株式オプション
　関連するワークブック――OPTION1（第10章）、OPTION2（第11章）、OPTION3（第12章）、OPTION4（第13章）

　第４部　債券オプション
　関連するワークブック――BOND1とBOND2（第14章、15章、16章）

　補遺
　関連するワークブック――OTHERFNS

　1.8　ご意見・ご提案

　資料収集から執筆に至るまで十分な時間をかけ注意を払って執筆を行っているが、ご意見・ご提案、そして修正点や改善点などがあれば遠慮なくご指摘いただきたい。